Как известно, аксиома — это теорема, не требующая доказательств. Это особенно характерно для таких фигур, как крюгольник, в связи с тем, что никто никогда не смог бы доказать в нём.

Аксиома 1. Через любые три крюгольника, не лежащих в одной плоскости, можно провести неограниченное количество кривых.

Аксиома 2. Два или несколько крюгольников параллельными быть не могут. Параллельными могут быть плоскости, содержащие крюгольники, причем существует всего одна пара таких плоскостей.

Аксиома 3. Если две точки лежат внутри крюгольника, то существуют такие точки, которые в нем не лежат, однако точек лежащих внутри всегда больше. Рассчитывается отношение точек по формуле Aⁿ = С³ⁿ⁺⁸, где C — количество точек внутри крюгольника, а A — вне.

Аксиома 4. Если два крюгольника имеют общую точку, то они, возможно, касаются друг друга. Если крюгольники имеют общую точку и не касаются, то такая ситуация называется крюгольной вытянутостью имени Бори.

Аксиома 5. О диагоналях крюгольника. Крюгольник может иметь одну или несколько диагоналей. В случае, когда число диагоналей больше или равно двум, синус меньшего угла их взаимного пересечения равен (1/37)^1/n, где n — число диагоналей.